A是p*n矩阵(p行n列),A的秩rank(A)=n,证明rank(A'A)=n (A'表示A的转置)

• .1.参考答案-1
  因为行秩=列秩,所以rank(A^(T))=n
  由rank-nullity theorem知：A的零度为0,A^(T)的零度也为0.
  考虑A^(T)A的零度,即考虑A^(T)Ax=0.
  左边=A^(T)(Ax),因为A^(T)的零度为0,所以Ax=0,而A的零度为0,所以x=0,即A^(T)A的零度为0.
  因为A^(T)A为n*n矩阵,由rank-nullity theorem知：ran(A^(T)A)=n
• .2.参考答案-2
  R(A'A)<=min{R(A),R(A')}=n,R(A'A)>=R(A)-R(A')-n=2n-n=n,
  n<=R(A'A)<=n,所以R(A'A)=n